BSEB Mathematics Formula Dictionary (Class 6–10)
कक्षा 6 से 10वीं तक के सभी गणितीय सूत्र, परिभाषाएँ, शार्टकट ट्रिक्स, उदाहरण एवं परीक्षा टिप्स। बिहार बोर्ड हिन्दी माध्यम के छात्रों के लिए भारत का सबसे विश्वसनीय गणित सूत्र संग्रह।
कक्षा 10 गणित सूत्र संग्रह (Class 10 BSEB)
NCERT & BSEB Syllabusअध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
हिन्दी व्याख्या
दो धनात्मक पूर्णांक a और b दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ q और r विद्यमान होती हैं कि a = bq + r हो।
चरों का अर्थ (Variables)
a = भाज्य (Dividend), b = भाजक (Divisor), q = भागफल (Quotient), r = शेषफल (Remainder)
प्रयोग एवं उपयोग
दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालने के लिए इस एल्गोरिथ्म का प्रयोग किया जाता है।
उदाहरण (Example)
135 और 225 का HCF: 225 = 135 × 1 + 90, 135 = 90 × 1 + 45, 90 = 45 × 2 + 0. अत: HCF = 45.
मेमोरी ट्रिक & शॉट्कट
ट्रिक: "भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल" (Dividend = Divisor × Quotient + Remainder)
परीक्षोपयोगी टिप्स & सामान्य भूल
सावधानी: शेषफल (r) हमेशा 0 से बड़ा या बराबर होता है लेकिन भाजक (b) से हमेशा छोटा होता है (0 ≤ r < b)।
बिहार बोर्ड परीक्षा महत्व
★ VVI (हर साल 2 अंकों का लघु उत्तरीय प्रश्न HCF निकालने पर आता है)।
अभ्यास प्रश्न
प्रश्न: 867 और 255 का HCF यूक्लिड एल्गोरिथ्म से ज्ञात करें?
उत्तर: 51
हिन्दी व्याख्या
किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए, उनके HCF और LCM का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
चरों का अर्थ
a, b = दो धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ
उपयोग
यदि दो संख्याएँ और HCF दिया हो तो सीधे LCM ज्ञात करने में।
शॉट्कट ट्रिक्स
LCM = (a × b) / HCF | HCF = (a × b) / LCM
सामान्य भूल
यह नियम केवल दो संख्याओं के लिए लागू होता है, तीन संख्याओं के लिए नहीं!
अभ्यास प्रश्न
प्रश्न: यदि HCF(26, 91) = 13 है, तो LCM(26, 91) ज्ञात कीजिए?
उत्तर: 182
अध्याय 2: बहुपद (Polynomials)
गणितीय रूप एवं व्याख्या
द्विघात बहुपद P(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) के दो शून्यक α और β हों, तो शून्यकों का योग -b/a तथा गुणनफल c/a होता है।
द्विघात बहुपद बनाने का सूत्र
P(x) = k [ x² - (α + β)x + (α · β) ]
बिहार बोर्ड परीक्षा महत्व
वस्तुनिष्ठ (MCQ) तथा 2 अंकों के प्रश्नों में 100% पूछा जाता है।
अभ्यास प्रश्न
प्रश्न: x² - 2x - 8 के शून्यकों का योग और गुणनफल ज्ञात करें?
उत्तर: योग = 2, गुणनफल = -8
अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
1. प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting)
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → केवल 1 अद्वितीय हल (अविरोधी / Consistent)
2. संपाती रेखाएँ (Coincident)
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → अनंत/अपरिमित हल (आश्रित / Dependent)
3. समांतर रेखाएँ (Parallel)
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → कोई हल नहीं (विरोधी / Inconsistent)
अध्याय 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)
1. यदि D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल
2. यदि D = 0: दो बराबर वास्तविक मूल (-b/2a)
3. यदि D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं (काल्पनिक)
बिहार बोर्ड परीक्षा टिप्स
विविक्तकर (D) का मान निकालने के लिए हर साल 1-2 वस्तुनिष्ठ प्रश्न पूछे जाते हैं।
अध्याय 5: समानांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression - AP)
चरों का अर्थ
a = प्रथम पद, d = सार्व अंतर (d = a₂ - a₁), n = पदों की संख्या, aₙ = nवाँ/अंतिम पद (l), Sₙ = n पदों का योग
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का योग
Sₙ = [ n(n + 1) ] / 2
अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
विभाजन सूत्र (Section Formula)
((m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂), (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂))
मध्य बिन्दु के निर्देशांक (Mid-point)
((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
अध्याय 8 एवं 9: त्रिकोणमिति (Trigonometry)
मूल अनुपात (LAL/KAK - लाल/कक्का)
sinθ = लम्ब/कर्ण (P/H), cosθ = आधार/कर्ण (B/H), tanθ = लम्ब/आधार (P/B)
पूरक कोण सूत्र (Complementary Angles)
sin(90°-θ) = cosθ | cos(90°-θ) = sinθ
tan(90°-θ) = cotθ | cot(90°-θ) = tanθ
स्मरण ट्रिक (Memory Trick)
"पंडित बद्री प्रसाद / हर हर बोले" (PBP/HHB) → sin, cos, tan
अध्याय 12 एवं 13: क्षेत्रमिति, पृष्ठ क्षेत्रफल एवं आयतन
बेलन (Cylinder)
वक्र पृष्ठ = 2πrh
कुल पृष्ठ = 2πr(r + h)
आयतन = πr²h
शंकु (Cone)
तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²)
वक्र पृष्ठ = πrl
कुल पृष्ठ = πr(l + r)
आयतन = (1/3)πr²h
गोला एवं अर्द्धगोला (Sphere & Hemisphere)
गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल = 4πr²
गोले का आयतन = (4/3)πr³
अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठ = 2πr²
अर्द्धगोले का कुल पृष्ठ = 3πr²
अर्द्धगोले का आयतन = (2/3)πr³
वृत्त का क्षेत्रफल एवं परिधि
क्षेत्रफल = πr² | परिधि = 2πr
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr
अध्याय 14 एवं 15: सांख्यिकी एवं प्रायिकता
माध्य (Mean - x̄)
प्रत्यक्ष विधि: x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
प्रायिकता की सीमाएँ (Probability Limits)
0 ≤ P(E) ≤ 1 | P(E) + P(E̅) = 1 (जहाँ E̅ = घटना न घटित होना)
कक्षा 9 गणित सूत्र संग्रह (Class 9 BSEB)
NCERT & BSEB Syllabusअध्याय: संख्या पद्धति एवं बहुपद
घातांक के नियम (Laws of Exponents)
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a⁰ = 1
विशेष स्थिति
यदि a + b + c = 0 हो, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है।
अध्याय: हीरोन का सूत्र (Heron's Formula)
हिन्दी व्याख्या एवं चर
a, b, c = त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लम्बाइयाँ, s = त्रिभुज का अर्द्ध-परिमाप (Semi-perimeter)
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल = (√3 / 4) × (भुजा)²
कक्षा 8 गणित सूत्र संग्रह (Class 8 BSEB)
NCERT & BSEB Syllabusअध्याय: वर्ग, वर्गमूल, घन, बीजगणित एवं वाणिज्य गणित
वाणिज्य गणित चर
P = मूलधन (Principal), R = दर (Rate %), T/n = समय (Time in Years), A = मिश्रधन (Amount), CI = चक्रवृद्धि ब्याज
बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. a² - b² = (a + b)(a - b)
कक्षा 7 गणित सूत्र संग्रह (Class 7 BSEB)
NCERT & BSEB Syllabusअध्याय: रेखाएं एवं कोण, परिमाप और क्षेत्रफल
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई (Base × Height)
पूरक एवं संपूरक कोण
पूरक कोण (Complementary): योग = 90°
संपूरक कोण (Supplementary): योग = 180°
कक्षा 6 गणित सूत्र संग्रह (Class 6 BSEB)
NCERT & BSEB Syllabusअध्याय: संख्याएँ, क्षेत्रमिति (Mensuration Basics)
आयत का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई (l × b)
वर्ग का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल = भुजा × भुजा (a²)
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (SEO FAQs)
1. गणित सूत्र (Mathematics Formula) क्या है?
गणित सूत्र एक गणितीय नियम या समीकरण है जो चरों और संख्याओं के बीच संबंध स्थापित करता है।
2. बिहार बोर्ड परीक्षा में गणित सूत्रों का क्या महत्व है?
BSEB गणित परीक्षा में 40% से अधिक प्रश्न सीधे सूत्र आधारित और ऑब्जेक्टिव होते हैं।
3. क्षेत्रमिति (Mensuration) और क्षेत्रफल में क्या अंतर है?
क्षेत्रमिति आकृतियों के मापन (परिमाप, क्षेत्रफल, आयतन) का अध्ययन है, जबकि क्षेत्रफल किसी आकृति द्वारा घेरी गई जगह है।
4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का सूत्र क्या है?
a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b होता है।
5. द्विघात समीकरण का श्रीधराचार्य सूत्र क्या है?
x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) होता है।
6. त्रिकोणमिति की तीन मुख्य सर्वसमिकाएँ कौन सी हैं?
1. sin²θ + cos²θ = 1, 2. 1 + tan²θ = sec²θ, 3. 1 + cot²θ = cosec²θ.
7. हीरोन का सूत्र किस प्रकार के त्रिभुज के लिए प्रयोग होता है?
यह किसी भी प्रकार के त्रिभुज (विषमबाहु, समद्विबाहु, समबाहु) के लिए प्रयोग किया जा सकता है।
8. गोले और अर्धगोले के आयतन का सूत्र क्या है?
गोले का आयतन = (4/3)πr³ तथा अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr³ होता है।
9. बहुलक, माध्यिका और माध्य में क्या संबंध है?
बहुलक (Mode) = 3 × माध्यिका (Median) - 2 × माध्य (Mean).
10. प्रायिकता का अधिकतम और न्यूनतम मान क्या हो सकता है?
प्रायिकता का न्यूनतम मान 0 (असंभव घटना) और अधिकतम मान 1 (निश्चित घटना) होता है।
11. समानांतर श्रेढ़ी (AP) के n पदों के योग का सूत्र क्या है?
Sₙ = (n/2)[2a + (n-1)d] अथवा Sₙ = (n/2)[a + l].
12. निर्देशांक ज्यामिति में मूल बिंदु के निर्देशांक क्या होते हैं?
मूल बिंदु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं।
13. वृत्त की परिधि का सूत्र क्या है?
वृत्त की परिधि = 2πr (जहाँ r त्रिज्या है)।
14. बेलन का आयतन शंकु के आयतन का कितना गुना होता है?
समान त्रिज्या और समान ऊँचाई वाले बेलन का आयतन शंकु के आयतन का 3 गुना होता है।
15. पाइथागोरस प्रमेय का सूत्र क्या है?
कर्ण² = लम्ब² + आधार² (c² = a² + b²).
16. वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
क्षेत्रफल = (θ / 360°) × πr².
17. वर्गमूल निकालने का शार्टकट तरीका क्या है?
अभाज्य गुणनखंडन विधि और भाग विधि सबसे प्रामाणिक तरीके हैं।
18. साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज में क्या मुख्य अंतर है?
साधारण ब्याज केवल मूलधन पर लगता है, जबकि चक्रवृद्धि ब्याज मूलधन के साथ-साथ पिछले ब्याज पर भी लगता है।
19. दो रेखाएँ समांतर कब होती हैं?
जब उनके बीच का कोण 0° हो तथा उनके ढाल (slope) बराबर हों या a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ हो।
20. क्या यह सूत्र संग्रह NCERT और BSEB दोनों के लिए है?
हाँ, यह संग्रह NCERT एवं बिहार बोर्ड के नवीनतम पाठ्यक्रम के अनुसार पूरी तरह तैयार किया गया है।
21. शून्येतर परिमेय संख्या का घातांक 0 होने पर मान क्या होगा?
किसी भी संख्या (0 को छोड़कर) की घात 0 होने पर उसका मान 1 होता है (a⁰ = 1)।
22. समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई का सूत्र क्या है?
ऊँचाई = (√3 / 2) × भुजा.
23. दूरी सूत्र का प्रयोग कहाँ होता है?
कार्तीय तल में स्थित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी ज्ञात करने में।
24. क्या मैं इस पेज को बिना इंटरनेट के पढ़ सकता हूँ?
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